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比例的运用【六年级奥数思维训练】

添加时间:2014年09月01日 浏览:1870次

 

专题简析

一、比例概述:

表示两个比相等的式子叫做比例,即比例是由两个比值相等的比组合而成的。

比例的基本性质:比例里两个外项的乘积等于两个内项的乘积。

即比例既可以表示为两个比相等的形式,也可以表示成两个积相等的形式。

二、正反比例关系:

(1)正比例:两种相关联的量,一种量随另一种量的变化而变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的变化关系叫做正比例关系。

成正比例关系的两种量的变化规律:同时扩大,同时缩小,比值不变。

(2)反比例:两种相关联的量,一种量随另一种量的变化而变化,如果这两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们之间的变化关系叫做反比例关系。

成反比例关系的两种量的变化规律:一种量扩大,则另一种量缩小;一种量缩,则另一种量则扩大。两种量中相对应的两个数的积不变。

在实际生活中,涉及到正反比例关系的数学问题很多,本讲就学习运用正反比例关系巧妙解决生活中的一些稍复杂的此类问题。

一般解题步骤:

(1)根据正反比例的意义,正确判断应用题中相关数量之间存在什么样的比例关系。

(2)根据题中相关数量之间的正反比例关系,列出含有未知数的等比式或等积式方程,解答应用题。

例题精讲

例1、两个铁环滚过同一段距离,一个转了50圈,另一个转了40圈。如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米,这段距离是多少米?

【解析】:铁环的周长×滚动的圈数=铁环滚过的距离(一定)两个铁环滚过的距离是一定的,则铁环滚动的圈数与铁环的周长成反比例关系。

假设其中周长较的铁环的周长为x厘米,可得:50 x=40×(x+44)解得:x=176

铁环滚过的这段距离长为:176×50=8800(厘米)8800厘米=88米

【练习1】

1、小明家到学校3.5千米,通常他总是步行上学。有一天他想锻炼身体,前1/3的路程快跑,速度是步行速度的4倍,后一段路程慢跑,速度是步行速度的2倍,这样比平时早35分钟到校,小明步行速度是多少?

【解析】:速度×时间=路程(一定)即路程一定时,小明行走的速度和时间成反比例关系。快跑速度是步行速度的4倍,即快跑速度与步行速度的比为4 :1。则快跑需要的时间与步行同样路程需要的时间的比是1 :4,即快跑时间是步行同样路程时间的1/4。同理可得,慢跑时间是步行同样路程时间的1/2。

假设小明步行全程需要x分钟,可得1/3 x×1/4+(1-1/3)x×1/2=x-35x=60

60分钟=1小时所以小明步行的速度为每小时3.5千米

2、甲、乙两人分别从AB两地同时同向而行,经过4小时15分,甲在C处追上乙,这时两人共行了41千米。如果乙从AB再到C那样走,则他还要用1小时45分。AB两地相距多少千米?

解析】先把单位换算成统一单位:4小时15分=255分钟; 1小时45分=105分钟。

路程÷时间=速度(一定)乙的速度是一定的,则乙行的路程与时间成正比例关系。

则乙从A走到B所需要的时间与乙从B走到C所需要的时间之比,就等于A到B的路程与B到C的路程之比为:105 :255=7 :17所以,A,B两地的距离为:

7[41 ÷(7+17+17)]=7(千米)

例2、甲种糖每千克10.8元,乙种糖每千克14.8元,把这两种糖混合后,售价为每千克12.3元,求甲、乙两种糖的重量比。

【解析】:假设甲种糖有x千克,乙种糖有y千克,求两种糖的重量比,即求x与y的比。只要根据题中的数量关系,列出关于x和y的等积式或比例式,就可以根据比例的性质进行变形,找出x与y的比。因为混合前后,所有糖果卖得的总价是不变的,由题意可得:

10.8x+14.8y=12.3×(x+y)去括号、移项可得:2.5y=1.5x

比例变形得:x :y=5 :3所以甲、乙两种糖的重量比为5 :3。

【练习2】

1、洗衣机厂计划20天内生产洗衣机1600台,生产了5天后,由于技术改进了,效率提高了25%,完成计划要用多少天?

【解析】:工作效率×工作时间=工作量(一定)工作量一定时,工作效率与工作时间成反比例关系。洗衣机厂5天后的工作效率与计划工作效率之比为:(1+25%):1=5:4

则完成剩余工作量所需工作时间与原计划工作时间的比为:4 :5。

所以完成计划工作量实际使用时间为:5+(20-5)×4/5=17(天)

2、解放军某连队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险,如果将车速比原来提高1/9,就可以比预定时间提前20分钟赶到;如果先按原速度行驶72千米,再将车速比原来提高1/3,就可比预定时间提前30分钟赶到,该解放军连队的行程是多少千米?

【解析】:速度×时间=路程(一定)即路程一定时,车速和行车时间成反比例关系。

第一步,先求出全程预定行车时间。

“车速比原来提高1/9”,提高后的车速与原车速之比为:(1+1/9):1=10 :9

则提高车速后,实际行车时间与预定行车时间的比为:9 :10。

可以求出从驻地赶往某地预定行车时间为:20÷(10-9)/10=200(分钟)

第二步,再求出行驶72千米的行车时间。行驶72千米后,再将车速比原来提高1/3,现车速与原车速的比为:(1+1/3):1=4 :3

则行完剩下路程,实际行车时间与预定行车时间的比为:3 :4。

可以求出行完剩下路程,预定行车时间为:30÷(4-3)/4=120(分钟)

所以该解放军连队按原速度行驶72千米所花时间为:200-120=80(分钟)

第三步,求出该解放军连队的总行程。

路程÷时间=速度(一定)该解放军连队原来的行车速度是一定,则行车时间与对应的行程成正比例。则该解放军连队按原速度行驶的72千米与全程的路程之比,就等于两段行程按原速度行驶的时间之比:80:200=2/5

所以该解放军连队总的行程为:72÷2/5=180(千米)


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